Квантовый гармонический осциллятор

---

Ква́нтовый гармони́ческий осцилля́тор — физическая модель в квантовой механике, представляющая собой параболическую потенциальную яму для частицы массой ${\displaystyle m}$ и являющаяся аналогом простого гармонического осциллятора. При анализе поведения данной системы рассматриваются не силы, действующие на частицу, а гамильтониан, то есть полная энергия осциллятора, причём потенциальная энергия предполагается квадратично зависящей от координат. Учёт следующих слагаемых в разложении потенциальной энергии по координате ведёт к понятию ангармонического осциллятора.

В координатном представлении ${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \partial /\partial x}$ , ${\displaystyle {\hat {q}}=x}$. Задача об отыскании уровней энергии гармонического осциллятора сводится к нахождению таких чисел E при которых дифференциальное уравнение в частных производных

Для ${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)\ ,\ n=0,1,2,\ldots }$

функции ${\displaystyle H_{n}}$ — полиномы Эрмита:

Данный спектр значений E заслуживает внимания по двум причинам: во-первых, уровни энергии дискретны и равноотстоящи (эквидистантны), то есть разница в энергии между двумя соседними уровнями постоянна и равна ${\displaystyle \hbar \omega }$; во-вторых, наименьшее значение энергии равно ${\displaystyle \hbar \omega /2}$. Этот уровень называют основным, вакуумом, или уровнем нулевых колебаний.

Гораздо проще спектр гармонического осциллятора можно получить с помощью операторов рождения и уничтожения, сопряжённых друг другу.

---