Кеплерова задача
В классической механике, задача Кеплера — частный случай задачи о движении в центральном поле, в которой тело взаимодействует с внешним полем посредством центральной силы , изменяющейся по величине обратно пропорционально квадрату расстояния между телом и неким центром О. Сила может быть как притягивающей, так и отталкивающей. Задача состоит в нахождении зависимости координат или скоростей тел от времени при заданных массах и начальных значениях скоростей и координат. Решение можно выразить через кеплеровы орбиты, используя шесть элементов орбит.
Задача названа в честь Иоганна Кеплера, который предложил законы Кеплера движения планет (являющиеся частью классической механики и позволяющие решить задачу Кеплера для орбит планет) и исследовал типы сил, которые должны приводить к существованию орбит, удовлетворяющих законам Кеплера (так называемая обратная задача Кеплера).
Задача Кеплера возникает во многих физических ситуациях и была частично изучена ещё самим Кеплером. Задача Кеплера важна для небесной механики, теории тяготения Ньютона, базирующейся на законе обратных квадратов. Примеры включают движение спутников вокруг планет, движение планет вокруг их солнц, движение двойных звёзд вокруг друг друга. Задача Кеплера также важна для случая движения двух заряженных частиц, между которыми действуют силы Кулона, также подчиняющиеся закону обратных квадратов. В качестве примера можно привести атом водорода, позитроний и мюоний, — эти случаи играют важную роль в моделировании систем для проверки физических теорий и измерения физических констант.
Задача Кеплера и задача простого гармонического осциллятора являются двумя наиболее фундаментальными задачами классической механики. Это единственные два случая, траектория объекта в которых является замкнутой, то есть объект возвращается в ту же начальную точку с той же самой скоростью (см. Задача Бертрана). Часто задача Кеплера используется для развития новых методов классической механики, таких как лагранжева механика, гамильтонова механика, уравнение Гамильтона — Якоби, переменные действие — угол. Задача Кеплера сохраняет вектор Лапласа — Рунге — Ленца, который был обобщён для других взаимодействий. Решение кеплеровой задачи позволяет показать, что движение планет может быть исчерпывающим образом описано законами классической механики и классической теорией тяготения Ньютона; научное объяснение движения планет сыграло важную роль в распространении просвещения.
Имеется центральная сила , действующая на два тела, которая изменяется по величине по закону обратных квадратов в зависимости от расстояния между телами: