Комбинаторика


Комбинато́рика — раздел математики, посвящённый решению задач, связанных с выбором и расположением элементов некоторого (чаще всего конечного) множества в соответствии с заданными правилами. Каждое такое правило определяет некоторую выборку из элементов исходного множества, которая называется комбинаторной конфигурацией. Простейшими примерами комбинаторных конфигураций[1][2] являются перестановки, сочетания и размещения[⇨].

Комбинаторика тесно связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей, теорией чисел и другими[⇨]. Она применяется в самых различных областях знаний, например, в генетике, информатике, статистике, статистической физике, лингвистике, музыке.

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход в 1666 году Лейбницем в труде «Рассуждения о комбинаторном искусстве».

Для формулировки и решения комбинаторных задач используют различные модели комбинаторных конфигураций. Примерами комбинаторных конфигураций являются:

Основные комбинаторные понятия и вычислительные результаты появились в древнем мире. Классическая задача комбинаторики: «сколько есть способов извлечь элементов из возможных» упоминается ещё в сутрах древней Индии (начиная примерно с IV века до н. э.)[3]. Индийские математики, видимо, первыми открыли биномиальные коэффициенты и их связь с биномом Ньютона[3]. Во II веке до н. э. индийцы знали, что сумма всех биномиальных коэффициентов степени равна .

Комбинаторные мотивы можно заметить в символике китайской «Книги Перемен» (V век до н. э.). По мнению её авторов, всё в мире комбинируется из различных сочетаний мужского и женского начал, а также восьми стихий: земля, горы, вода, ветер, гроза, огонь, облака и небо[4]. Историки отмечают также комбинаторные проблемы в руководствах по игре в Го и другие игры. Большой интерес математиков многих стран с древних времён неизменно вызывали магические квадраты.