Конечномерное пространство

---

Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.

Базис — это (одновременно) и минимальная порождающая (полная) система, и максимальная линейно независимая система векторов. Все базисы содержат одно и то же количество элементов, которое называется размерностью векторного пространства.

Конечномерное пространство, в котором введено скалярное произведение его элементов, называется евклидовым. Конечномерное пространство, в котором введена норма его элементов, называется конечномерным нормированным. Наличие скалярного произведения или нормы порождает в конечномерном пространстве метрику.

Всякий элемент ${\displaystyle x}$ конечномерного пространства ${\displaystyle X}$ представим единственным образом в виде

${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \mathbb {P} }$ где ${\displaystyle \mathbb {P} }$ — поле (часто ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$), над которым рассматривается пространство ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle e_{1},e_{2},...,e_{n}\in X}$ — элементы базиса. Это следует из определения базиса.

Также любой базис в евклидовом пространстве можно сделать ортонормированным при помощи ортогонализации Шмидта.

---