Родился 11 (24) июня 1907 года в Саратове. В 1931 году окончил ЛГК имени Н. А. Римского-Корсакова (класс композиции В. В. Щербачёва). Автор произведений для солистов, хора и оркестра, музыки к спектаклям, кинофильмам, а также ряда камерно-инструментальных сочинений. Отредактировал партитуру оперы П. И. Чайковского «Воевода» (поставлена в 1949 году в Ленинграде). С 1947 года преподавал в ЛГК имени Н. А. Римского-Корсакова (с 1950 года доцент).
Памяти Кочурова посвящена Нения для виолончели и фортепьяно (1954) Валериана Богданова-Березовского.
Вокальное творчество Юрия Кочурова подробно исследовала музыковед, профессор ЛГК им. Н. А. Римского-Корсакова Екатерина Александровна Ручьевская. Благодаря её ученикам издана книга, включающая в себя письма и перечень всех произведений Ю.Кочурова, в том числе неопубликованных.