Кризис оснований математики
Кризис оснований математики — термин, обозначающий поиск фундаментальных основ математики на рубеже XIX и XX веков.
Основания математики (англ. foundations of mathematics), представляют собой учения о логических и философских основах математики, включая вопрос о том, обеспечивают ли аксиомы данной системы её полноту и непротиворечивость[1], тогда как под кризисом оснований математики понимают кризис онтологии, сутью которого является неспособность описать объекты, факт бытия или становления которых выходит за рамки привычных представлений о мире[2].
Теоретико-множественный подход, получивший широкое развитие в конце XIX века, позволил возвести математику на прочном, и, казалось, надёжном фундаменте — канторовой теории множеств. Развитие канторовой теории множеств привело к возможности выразить в терминах этой теории все основные математические понятия. Возможность построения математики на теоретико-множественном фундаменте Гильберт охарактеризовал как «рай для математиков», а уже построенную на этой основе часть математики называл «симфонией бесконечного». Однако восторги сменились шоковым состоянием, когда была обнаружена противоречивость данного подхода[3].
Сущность парадокса заключается в том, что с помощью логически правильных рассуждений удаётся обосновать (доказать средствами данной теории) одновременно некоторое утверждение и его отрицание, то есть противоречие. Это означает противоречивость данной теории. По законам логики в противоречивой теории доказуемо «всё что угодно», то есть любое утверждение.
С целью избежания некоторых парадоксов было предложено ограничить принцип свёртывания — широко распространённой математической конструкции, позволяющей образовывать множества с помощью тех или иных свойств объектов.
Принцип свёртывания заключается в том, что для любого свойства считается существующим множество, состоящее из тех и только тех объектов, которые обладают свойством . Символически принцип свёртывания можно записать следующим образом:
