Задача о самом длинном пути — это задача поиска простого пути максимальной длины в заданном графе. Путь называется простым, если в нём нет повторных вершин. Длина пути может быть измерена либо числом рёбер, либо (в случае взвешенных графов) суммой весов его рёбер. В отличие от задачи кратчайшего пути, которая может быть решена за полиномиальное время на графах без циклов с отрицательным весом, задача нахождения самого длинного пути является NP-трудной и не может быть решена за полиномиальное время для произвольных графов, если только не P = NP. Принадлежность более тяжелому классу сложности также означает, что задачу трудно аппроксимировать. Однако задача решается за линейное время на ориентированных ациклических графах, которые имеют важное применение в задачах нахождения критического пути в задачах планирования.
NP-трудность невзвешенной задачи поиска самого длинного пути можно показать, сведя задачу к поиску гамильтонова пути[англ.] — граф G имеет гамильтонов путь тогда и только тогда, когда самый длинный путь в нём имеет длину n − 1, где n — число вершин графа G. Поскольку задача поиска гамильтонова пути является NP-полной, это сведение показывает, что задачи поиска самого длинного пути в варианте разрешимости также NP-полна. В этой задаче разрешимости входом является граф G и число k. Ожидается выход "да", если G содержит путь с k и больше дугами, или нет в противном случае[1].
Если бы задача поиска самого длинного пути могла быть решена за полиномиальное время, она могла бы быть использована для решения этой задачи разрешимости путём нахождения самого длинного пути и сравнения длины полученного пути с числом k. Таким образом, задача поиска самого длинного пути является NP-трудной. Она не является NP-полной, поскольку она не является задачей разрешимости[2].
Во взвешенных полных графах с неотрицательными весами рёбер задача поиска взвешенного самого длинного пути является той же самой задачей, что и задача коммивояжёра, поскольку самый длинный путь всегда включает все вершины этой задачи[3].
Самый длинный путь A между двумя заданными вершинами s и t во взвешенном графе G — это то же самое, что и кратчайший путь в графе −G, полученном из G путём замены всех весов на веса с обратным знаком. Таким образом, если кратчайший путь можно найти в −G, то можно найти и самый длинный путь в G[4].
Для большинства графов такое преобразование бесполезно, поскольку создаёт циклы отрицательной длины в −G. Но если G является ориентированным ациклическим графом, невозможно создать отрицательный цикл и самый длинный путь в G может быть найден за линейное время, применив алгоритм поиска кратчайшего пути в −G (тоже ориентированный ациклический граф), который работает за линейное время[4]. Например, для любой вершины v в ориентированном ациклическом графе длина самого длинного пути, заканчивающегося в v, может быть получена выполнением следующих шагов: