Генрих Куль был вторым из девяти детей Иоганна Генриха Куля (1757, Марбург — 1830, Ханау) и Марии Юдифь Вальтер (1770, Ханау — 1810, Ханау). Уже в родном доме существовали контакты с многочисленными натуралистами, так у Иоганна Филиппа Ахиллеса Лейслера, собирателя и торговца естественнонаучным материалом, Куль научился таксидермии, посещая в то же время Высшую земельную школу в Ханау. Когда Лейслер умер после битвы около Ханау, Куль заботился о его коллекции до её продажи на аукционе в 1816 году, а также вёл его дела и дальнейшие исследования о местных летучих мышах[1]. Последнее он закончил монографией, которая была впервые опубликована в 1816 году. С рядом натуралистов он состоял в переписке. Иоганн Вольфганг фон Гёте упоминает его исследования, после того, как 14 июля 1814 года посещает коллекции Общества естествознания в Ханау, где Генрих Куль был куратором[2].
В 1816 году он окончил школу и должен был сперва изучить по желанию отца юриспруденцию. Однако ввиду своих естественнонаучных талантов он выбрал медицину. Учеба в университете Гейдельберга стала его целью. Прежде чем это произошло, он познакомился с Теодурус ван Свиндерен, профессором естествознания в университете Гронингена, который предлагал ему там учёбу и оплаченное место ассистента в тамошнем Историческом музее природы. 6 ноября 1816 года Куль был зачислен в университет Гронингена. Ван Свиндерен обеспечил Генриха Куля квартирой непосредственно в музее, так что у него в любое время был доступ к коллекциям. Здесь он познакомился с Иоганом Конрадом ван Гассельтом (1797—1823), с которым он теперь вместе проводил исследования и затем публиковал. Также он предпринял исследовательские экскурсии на побережье Северного моря и на остров Роттумероог и дополнил музейную коллекцию и многочисленные коллекции в Германии препаратами из этих биотопов. Куль отличился уже в первый год в университете тем, что как и его друг ван Гассельт, он был почётным членом общества естественнонаучных исследований в Гронингене. В следующем году Генрих Куль стал почётным членом Общества естествознания и Леопольдины. Летом 1818 года Куль и ван Гассельт предприняли трёхмесячную научную поездку в Германию. Следующей зимой он был приглашён Конрадом Якобом Темминком в Музей естествознания Лейдена, чтобы классифицировать предметы коллекции.
Там ему пришло приглашение от нидерландского правительства предпринять научную экспедицию на Яву, тогда часть колоний голландской Ост-Индии, чтобы изучить животных острова. Предложение было связано с предшествовавшими научными командировками в Лондон и Париж, чтобы ознакомиться с тамошними коллекциями. Кроме того, он посетил коллекции в Брюсселе. В ходе подготовки к своей поездки он встречался также с имевшими опыт в тропиках натуралистами Александром фон Гумбольдтом и принцем Максимилианом Вид-Нойвидом. В 1819 году ему была присвоена учёная степень доктора наук университета Гронингена.