Лагранжиан

---

Лагранжиа́н, фу́нкция Лагра́нжа ${\displaystyle {\mathcal {L}}[\varphi _{i}]}$ динамической системы, является функцией обобщённых координат ${\displaystyle \ \varphi _{i}(s)}$ и описывает развитие системы. Например, уравнения движения (для классической механики) в этом подходе получаются из принципа наименьшего действия, записываемого как

где действие — функционал ${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(s)]{}\,d^{n}s},}$

а ${\displaystyle \varphi _{i}}$ — обобщённые координаты (например, координаты частиц или полевые переменные),${\displaystyle \ s_{j}}$ обозначает множество параметров системы, в случае классической механики — независимые пространственные координаты и время, а более широком — ещё электрические или другие физические параметры. Названа в честь Жозефа Луи Лагранжа.

Уравнения, полученные посредством приравнивания нулю функциональной производной функционала по всем направлениям, идентичны обычным уравнениям Эйлера – Лагранжа. Динамические системы, чьи уравнения могут быть получены посредством принципа наименьшего действия для удобно выбранной функции Лагранжа, известны как лагранжевы динамические системы.

Примеров лагранжевых динамических систем много, начиная с классической версии Стандартной модели в физике элементарных частиц и заканчивая уравнениями Ньютона в классической механике (см. Лагранжева механика). Также к этой области относятся чисто математические проблемы, такие как задача нахождения уравнений геодезических и проблема Плато.

Через преобразование Лежандра лагранжиан связан с гамильтонианом (в котором за основу берутся импульсы). На гамильтониане основана гамильтонова формулировка классической механики.

---