Лемма Морса

---

Лемма Морса — утверждение, описывающее поведение гладкой или аналитической вещественной функции в окрестности невырожденной критической точки. Один из простых, но важнейших результатов теории Морса; названа по имени разработчика теории и установившего данный результат в 1925 году американского математика Марстона Морса.

Пусть ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ — функция класса ${\displaystyle C^{r+2}}$, где ${\displaystyle r\geq 1}$, имеющая точку ${\displaystyle 0\in \mathbb {R} ^{n}}$ своей невырожденной критической точкой, то есть в этой точке дифференциал ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ обращается в нуль, а гессиан ${\displaystyle {\Bigl |}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}{\Bigr |}}$ отличен от нуля. Тогда в некоторой окрестности ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle 0}$ существует такая система ${\displaystyle C^{r}}$-гладких локальных координат (карта) ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ с началом в точке ${\displaystyle 0}$, что для всех ${\displaystyle x\in U}$ имеет место равенство^[1]

---