Логарифм

Логари́фм числа ${\displaystyle b}$ по основанию ${\displaystyle a}$ (от др.-греч. λόγος, «отношение» + ἀριθμός «число»^[1]) определяется^[2] как показатель степени, в которую надо возвести основание ${\displaystyle a}$, чтобы получить число ${\displaystyle b}$. Обозначение: ${\displaystyle \log _{a}b}$, произносится: «логарифм ${\displaystyle b}$ по основанию ${\displaystyle a}$».

Из определения следует, что нахождение ${\displaystyle x=\log _{a}b}$ равносильно решению уравнения ${\displaystyle a^{x}=b}$. Например, ${\displaystyle \log _{2}8=3}$, потому что ${\displaystyle 2^{3}=8}$.

Вычисление логарифма называется логарифми́рованием. Числа ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ чаще всего вещественные, но существует также теория комплексных логарифмов.

Логарифмы обладают уникальными свойствами, которые определили их широкое использование для существенного упрощения трудоёмких вычислений^[3]. При переходе «в мир логарифмов» умножение заменяется на значительно более простое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня преобразуются соответственно в умножение и деление на показатель степени. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов, «сократив труд астронома, удвоило его жизнь»^[4].

Определение логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые опубликовал в 1614 году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, расширенные и уточнённые другими математиками, повсеместно использовались для научных и инженерных расчётов более трёх веков, пока не появились электронные калькуляторы и компьютеры.

График двоичного логарифма

Почтовая марка Никарагуа 1971 года и её оборот. Закон Непера (логарифмы)

Графики логарифмических функций

Логарифмическая функция обратна к показательной

Натуральный логарифм равен площади под гиперболой

Вещественная часть комплексного логарифма

Комплексный логарифм (мнимая часть)

Логарифмическая таблица М. Штифеля, «Arithmetica integra», 1544

Джон Непер

Распределение Бенфорда. По горизонтали — первые значащие цифры, по вертикали — вероятность их появления.

Треугольник Серпинского (справа)

Логарифмическая шкала

Графики трёх функций при различном выборе шкал по осям координат:

Верхний ряд - 1) обе линейные; 2) логарифмическая (x) и линейная (y);
Нижний ряд - 1) линейная (x) и логарифмическая (y); 2) обе логарифмические.

     ${\displaystyle y=10^{x}}$      ${\displaystyle y=x}$      ${\displaystyle y=\ln x}$

Логарифмические таблицы

Логарифмическая линейка. Умножение 1,3 × 2 или деление 2,6 / 2 (см. шкалы C и D).