Логарифм


Логари́фм числа по основанию (от др.-греч. λόγος, «отношение» + ἀριθμός «число»[1]) определяется[2] как показатель степени, в которую надо возвести основание , чтобы получить число . Обозначение: , произносится: «логарифм по основанию ».

Из определения следует, что нахождение равносильно решению уравнения . Например, , потому что .

Вычисление логарифма называется логарифми́рованием. Числа чаще всего вещественные, но существует также теория комплексных логарифмовПерейти к разделу «#Комплексный логарифм».

Логарифмы обладают уникальными свойствами, которые определили их широкое использование для существенного упрощения трудоёмких вычислений[3]. При переходе «в мир логарифмов» умножение заменяется на значительно более простое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня преобразуются соответственно в умножение и деление на показатель степени. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов, «сократив труд астронома, удвоило его жизнь»[4].

Определение логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые опубликовал в 1614 году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, расширенные и уточнённые другими математиками, повсеместно использовались для научных и инженерных расчётов более трёх веков, пока не появились электронные калькуляторы и компьютеры.


Графики логарифмических функций
Логарифмическая функция обратна к показательной
Натуральный логарифм равен площади под гиперболой
Вещественная часть комплексного логарифма
Комплексный логарифм (мнимая часть)
Логарифмическая таблица М. Штифеля, «Arithmetica integra», 1544
Распределение Бенфорда. По горизонтали — первые значащие цифры, по вертикали — вероятность их появления.
Логарифмическая шкала
Logarithmic Scales no text.svg
Графики трёх функций при различном выборе шкал по осям координат:

Верхний ряд - 1) обе линейные; 2) логарифмическая (x) и линейная (y);
Нижний ряд - 1) линейная (x) и логарифмическая (y); 2) обе логарифмические.

                 
Логарифмические таблицы
Логарифмическая линейка. Умножение 1,3 × 2 или деление 2,6 / 2 (см. шкалы C и D).