Родился в селении Алхан-Юрт, в семье богослова Тасу-муллы. В феврале 1935 года отец Магомед-Башира был арестован, обвинен в кулачестве и вместе с семьей сослан в Узбекистан. Впоследствии Магомед-Башир работал в Алхан-Юрте учителем начальных классов.
14 октября 1991 года Советом имамов Чечни избран главой Духовного управления мусульман (Муфтията) Чеченской Республики. После обретения Чечней независимости новые власти обвинили Арсанукаева в политической пассивности. Параллельно духовному управлению мусульман во главе с муфтием появился конкурирующий комитет по делам исламской религии при президенте Чечни во главе с Алсабековым. В 1992 году Арсанукаев покидает должность муфтия, оставшись в положении духовного лидера. Зелимхан Яндарбиев обвинил Арсанукаева и его сторонников из тариката накшбандия в попытке заговора с целью свержения Джохара Дудаева[1].
В отношении Первой чеченской войны он занял нейтральную позицию, осудив как режим Дудаева, так и федеральные силы. После отъезда заграницу на лечение в 1994 году обязанности муфтия стал выполнять его заместитель Ахмад Кадыров.