Максимальные и минимальные элементы

---

Элемент ${\displaystyle M}$ частично упорядоченного множества ${\displaystyle A}$ называется максимальным элементом, если

Аналогично, элемент ${\displaystyle m\in A}$ называется минимальным, если

Записывается как ${\displaystyle M=\max A}$ (соотв. свойство минимальности записывается как ${\displaystyle m=\min A}$). В случае линейно упорядоченного множества (например, в случае подмножества вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$ с естественным порядком) понятие максимального (соотв. минимального) элемента совпадает с понятием наибольшего (соотв. наименьшего) элемента, но в общем случае эти понятия различаются: наибольший элемент всегда является максимальным, обратное не всегда верно, так как для максимального элемента могут существовать несравнимые с ним элементы.

Не существует максимального элемента подмножества ${\displaystyle \mathbb {R} }$, если оно не ограничено сверху. Даже если это множество ограничено сверху, максимального элемента также может не существовать (хотя и инфимум, и супремум существуют для любого ограниченного множества). Например, для интервала ${\displaystyle A=\left({a,b}\right)}$ не существует ни минимального, ни максимального элемента.

---