Метод Эйлера

---

Метод Эйлера — простейший численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление»^[1]. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности. Он основан на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией — так называемой ломаной Эйлера.

где функция ${\displaystyle f}$ определена на некоторой области ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$. Решение ищется на полуинтервале ${\displaystyle (x_{0},b]}$. На этом промежутке введём узлы${\displaystyle x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}\leq b.}$Приближенное решение в узлах ${\displaystyle x_{i}}$, которое обозначим через ${\displaystyle y_{i}}$, определяется по формуле

Погрешность на шаге, или локальная погрешность, — это разность между численным решением после одного шага вычисления ${\displaystyle y_{i}}$ и точным решением в точке ${\displaystyle x_{i}=x_{i-1}+h}$. Численное решение задаётся формулой

Локальную ошибку ${\displaystyle L}$ получаем, вычитая из второго равенства первое:

Это справедливо, если ${\displaystyle y}$ имеет непрерывную вторую производную^[2]. Другим достаточным условием справедливости этой оценки, из которого вытекает предыдущее и которое обычно может быть легко проверено, является непрерывная дифференцируемость ${\displaystyle f(x,y)}$ по обоим аргументам^[3].

---