Метод итерации

---

Метод итерации или метод простой итерации — численный метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Суть метода заключается в нахождении по приближённому значению величины следующего приближения, являющегося более точным.

Метод позволяет получить значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых векторов (в результате итерационного процесса). Характер сходимости и сам факт сходимости метода зависит от выбора начального приближения корня.

Выбирается начальное приближение ${\displaystyle x^{(0)}}$. На каждом шаге считается новое приближение ${\displaystyle x^{(k+1)}}$ из старого ${\displaystyle x^{(k)}}$ по формуле

Приближения продолжают считаться до того, пока не достигнут нужной степени точности. Достигло ли приближение нужной степени точности или нет проверяется при помощи условия остановки, которые могут отличаться в разных реализациях.

Для того, чтобы воспользоваться методом простой итерации, необходимо привести её к виду ${\displaystyle x=Bx+g}$. Представим матрицу ${\displaystyle A}$ в виде ${\displaystyle A=M-N}$, где ${\displaystyle M}$ — обратима. Тогда система приводится к виду ${\displaystyle x=Bx+g}$ следующим образом:

Матрицы ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ могут быть выбраны различными способами; в зависимости от конкретного способа получаются различные разновидности метода. Обозначим далее за ${\displaystyle L}$ — строго нижнюю треугольную часть ${\displaystyle A}$, за ${\displaystyle D}$ — диагональную часть ${\displaystyle A}$, за ${\displaystyle U}$ — строго верхнюю треугольную часть ${\displaystyle A}$. Получающиеся таким способом разновидности эквиваленты следующим методам:

---