Мнемоническое правило Непера — форма записи основных соотношений в прямоугольном сферическом треугольнике, лёгкая для запоминания.
Для трёх смежных элементов прямоугольного сферического треугольника косинус среднего элемента равен произведению котангенсов соседних, а для трёх несмежных элементов косинус элемента, расположенного отдельно от других двух, равен произведению их синусов. При этом вместо катетов берутся их дополнения до 90 градусов, а прямой угол вообще не считается элементом.
Чтобы правило было удобнее применять, рисуют круг, делят его радиусами на пять частей и записывают в них все элементы прямоугольного сферического треугольника за исключением прямого угла в той последовательности, в которой они расположены в треугольнике. Каждый катет помечают горизонтальной чертой над ним или апострофом рядом с ним — знак дополнения катета до 90 градусов. На круге нетрудно найти нужные три элемента и применить к ним мнемоническое правило.
Докажем одну формулу для трёх смежных элементов прямоугольного сферического треугольника и одну формулу для двух смежных и одного отдельного элемента[2], а затем для обоснования мнемонического правила Непера (а одновременно — и доказательства самих формул), дающего все десять таких формул для прямоугольного сферического треугольника, применим к этим двум формулам, следуя Ламберту, звёздчатый пятиугольник[3].
Возьмём два катета a и b (смежные элементы) и гипотенузу c (отдельный элемент). Их связывает сферическая теорема Пифагора, которая доказывается в статье о ней. Поэтому здесь доказывать в этом случае практически ничего не надо. Заметим лишь, что
то есть для этих трёх элементов мнемоническое правило Непера справедливо. Выведем теперь формулу для трёх смежных элементов. Возьмём гипотенузу c, катет a и угол B. Как и в доказательстве сферической теоремы Пифагора, рассмотрим трёхгранный угол OA1B1C1 со сторонами (лучами) OA1, OB1, OC1 и вершиной в точке O, соответствующий данному прямоугольному сферическому треугольнику ABC.