Множество Мандельброта

---

Мно́жество Мандельбро́та — множество точек c на комплексной плоскости, для которых рекуррентное соотношение ${\displaystyle z_{n+1}={z_{n}}^{2}+c}$ при ${\displaystyle z_{0}=0}$ задаёт ограниченную последовательность. Иными словами, это множество таких c, для которых существует такое действительное R, что неравенство ${\displaystyle |z_{n}|<R}$ выполняется при всех натуральных n. Определение и название принадлежат французскому математику Адриену Дуади  (англ.) (рус., в честь математика Бенуа Мандельброта^[1].

Множество Мандельброта является одним из самых известных фракталов, в том числе за пределами математики, благодаря своим цветным визуализациям^[⇨]. Его фрагменты не строго подобны исходному множеству, но при многократном увеличении определённые части всё больше похожи друг на друга.

Точное значение площади множества Мандельброта неизвестно. На 2012 год она оценивалась как 1,506 591 884 9 ± 2,8×10⁻⁹. Точная координата центра масс (расположенного на оси абсцисс) тоже неизвестна и оценивается как −0,286 768 420 48 ± 3,35×10^−9[2].

Вышеуказанная последовательность может быть раскрыта для каждой точки ${\displaystyle c}$ на комплексной плоскости следующим образом:

Если переформулировать эти выражения в виде итеративной последовательности значений координат комплексной плоскости ${\displaystyle (x,y)}$, то есть заменив ${\displaystyle z_{n}}$ на ${\displaystyle x_{n}+i\cdot y_{n}}$, а ${\displaystyle c}$ на ${\displaystyle x_{0}+i\cdot y_{0}}$, мы получим:

---