Монотонная функция

---

Моното́нная фу́нкция — функция одной переменной, определённая на некотором подмножестве действительных чисел, которая либо везде (на области своего определения) не убывает, либо везде не возрастает. Более точно, это функция ${\displaystyle f}$, приращение которой ${\displaystyle \Delta f=f(x')-f(x)}$ при ${\displaystyle \Delta x=(x'-x)>0}$ не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное^[1]. Если в дополнение приращение ${\displaystyle \Delta f}$ не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной.

Функция называется возраста́ющей, если большему значению аргумента соответствует не меньшее (по другой терминологии — большее) значение функции. Функция называется убыва́ющей, если большему значению аргумента соответствует не большее (по другой терминологии — меньшее) значение функции.

Пусть дана функция ${\displaystyle f:M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .}$ Тогда

Более естественно, когда под терминами возрастающая (убывающая) функция подразумеваются строго возрастающая (убывающая) функция. Тогда про нестрого возрастающую (убывающую) функцию говорят, неубывающая (невозрастающая)^[2]:

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале ${\displaystyle (a,b).}$ Точнее имеет место

Аналогично, ${\displaystyle f}$ строго убывает на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

---