Непрерывная функция

---

Непрерывная функция — функция, которая меняется без мгновенных «скачков» (называемых разрывами), то есть такая, малые изменения аргумента которой приводят к малым изменениям значения функции.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения. Вариацию этого понятия для функций комплексной переменной см. в статье Комплексный анализ.

Пусть ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$. Существует несколько эквивалентных определений непрерывности функции в точке ${\displaystyle x_{0}\in D}$.

Функция ${\displaystyle f}$ непрерывна на множестве ${\displaystyle E}$, если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция ${\displaystyle f}$ класса ${\displaystyle C^{0}}$ и пишут: ${\displaystyle f\in C^{0}(E)}$ или, подробнее, ${\displaystyle f\in C^{0}(E,\mathbb {R} )}$.

---