Соизмеримые величины

Соизмери́мые величи́ны — исторический термин, обозначающий величины, для которых существует общая мера. Общей мерой величин называют величину, которая целое число раз содержится в каждой из них^[1]. Если такой меры не существует, то такие величины называют несоизмери́мыми.

Предположим, что в величинах а и b общая мера заключается m и n раз соответственно. Число m/n называется отношением данных соизмеримых величин. Отношение двух соизмеримых величин выражается рациональным числом, а несоизмеримых — иррациональным. Поэтому говорят также, что число a является рациональным кратным числа b.

Примером несоизмеримых величин могут служить диагональ квадрата и его сторона, так как их отношение ( ${\sqrt {2}}$ ) не может быть точно представлено никаким рациональным числом.

Любая пара (и любое конечное множество) рациональных чисел соизмеримы. Иррациональные числа могут быть соизмеримы (например, $12{\sqrt {20}}$ и $8{\sqrt {5}}$ , отношение которых равно 3), но могут быть и несоизмеримы.

Пифагорейцы (VI век до н. э.) были уверены, что «элементы чисел являются элементами всех вещей… и что весь мир в целом является гармонией и числом»^[2]. При этом числами они признавали только натуральные; а дробные числа они рассматривали как отношения натуральных (пропорции) и числами не считали, так как единица считалась неделимой.

Первой трещиной в пифагорейской модели мира стало ими же полученное доказательство иррациональности ${\sqrt {2}}$ , сформулированное геометрически как несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной (V век до н. э.). Невозможность выразить длину отрезка ни натуральным числом, ни отношением натуральных чисел, ставила под сомнение главный принцип пифагорейства. Даже Аристотель, не разделявший их взгляды, выражал своё изумление по поводу того, что есть вещи, которые «нельзя измерить самою малою мерою»^[3].