Ним (игра)

Ним — игра, в которой два игрока по очереди берут предметы, разложенные на несколько кучек. За один ход может быть взято любое количество предметов (больше нуля) из одной кучки. Выигрывает игрок, взявший последний предмет. В классическом варианте игры число кучек равняется трём.

Частный случай, когда кучка одна, но максимальное число предметов, которые можно взять за ход, ограничено, известен как игра Баше. Ним — конечная игра с полной информацией. Классическая игра Ним имеет фундаментальное значение для теоремы Шпрага — Гранди. Эта теорема утверждает, что обычная игра, являющаяся суммой беспристрастных игр, эквивалентна обычной игре в Ним. При этом каждой беспристрастной игре-слагаемому соответствует кучка Ним, число предметов в которой равно значению функции Шпрага — Гранди для игровой позиции данной игры.

Китайская игра ним упоминалась европейцами ещё в XVI веке. Имя «ним» было дано игре американским математиком Чарльзом Бутоном (англ. Charles Bouton), описавшим в 1901 году выигрышную стратегию игры. Существует несколько версий о происхождении названия игры:

Игрушка «Доктор Ним», небольшой шариковый компьютер, придуманный в 1960-х, играл не в ним, а в игру Баше.

В общем случае рассматривается $p$ кучек предметов с $N_{1},N_{2},\dots ,N_{p}$ предметами. Игроки ходят по очереди. Ход заключается в том, что игрок берёт из кучки $i\in [1,p]$ $n\in [1,N_{i}]$ предметов. Каждой позиции игры ставится в соответствие ним-сумма этой позиции — результат сложения размеров всех кучек в двоичной системе счисления без учёта переноса разрядов, то есть сложение двоичных разрядов чисел в поле вычетов по модулю 2: $S=N_{1}\oplus N_{2}\oplus \cdots \oplus N_{p}$

Выигрышная стратегия состоит в том, чтобы оставлять после своего хода позицию с ним-суммой, равной нулю. Она основана на том, что из любой позиции с ним-суммой, не равной нулю, можно одним ходом получить позицию с нулевой ним-суммой, а из позиции с нулевой ним-суммой любой ход ведёт в позицию с ним-суммой, отличной от нуля.