Оператор Лапласа

---

Опера́тор Лапла́са (лапласиа́н, оператор дельта) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом ${\displaystyle \ \Delta }$. Функции ${\displaystyle F\ }$ он ставит в соответствие функцию

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции: ${\displaystyle \Delta =\operatorname {div} \,\operatorname {grad} }$, таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля ${\displaystyle \ \operatorname {grad} F}$ в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом ${\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}$^[1], то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа симметричен.

Оператор Лапласа является естественным обобщением на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одной переменной. В самом деле, если функция ${\displaystyle \ f(x)}$ имеет в окрестности точки ${\displaystyle \ x_{0}}$ непрерывную вторую производную ${\displaystyle \ f''(x)}$, то, как это следует из формулы Тейлора

---