Оператор (математика)

---

Опера́тор (позднелат. operator — работник, исполнитель, от operor — работаю, действую) — математическое отображение между множествами, в котором каждое из них наделено какой-либо дополнительной структурой (порядком, топологией, алгебраическими операциями). Понятие оператора используется в различных разделах математики для отличия от другого рода отображений (главным образом, числовых функций); точное значение зависит от контекста, например в функциональном анализе под операторами понимают отображения, ставящие в соответствие функции другую функцию («оператор на пространстве функций» вместо «функции от функции»).

Про оператор ${\displaystyle A:X\to Y}$ говорят, что он действует из множества ${\displaystyle X}$ во множество ${\displaystyle Y}$. Оператор может быть не всюду определён на ${\displaystyle X}$; тогда говорят о его области определения ${\displaystyle D_{A}=D(A)\subset X}$. Для ${\displaystyle x\in X}$ результат применения оператора ${\displaystyle A}$ к ${\displaystyle x}$ обозначают ${\displaystyle A(x)}$ или ${\displaystyle Ax}$.

Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ — векторные пространства, то в множестве всех операторов из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$ можно выделить класс линейных операторов.

Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ — векторные топологические пространства, то в множестве операторов из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$ естественно выделяется класс непрерывных операторов, а также класс линейных ограниченных операторов и класс линейных компактных операторов (называемые также вполне непрерывными).

---