Ортогональное преобразование

---

Ортогональное преобразование — линейное преобразование ${\displaystyle A}$ евклидова пространства ${\displaystyle L}$, сохраняющее длины или (что эквивалентно) скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов ${\displaystyle x,y\in L}$ выполняется равенство

где треугольными скобками обозначено скалярное произведение ${\displaystyle \langle x,\,y\rangle }$в пространстве ${\displaystyle L}$.

В случае евклидовой плоскости всякое собственное ортогональное преобразование является поворотом на некоторый угол ${\displaystyle \varphi }$, и его матрица в любом ортонормированном базисе имеет вид

Она симметрична, имеет собственными числами 1 и −1 и, следовательно, является инволюцией. В подходящем ортонормированном базисе матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид

то есть оно является отражением относительно некоторой прямой. Собственное ортогональное преобразование есть произведение двух отражений:

В трёхмерном пространстве всякое собственное ортогональное преобразование есть поворот вокруг некоторой оси, а всякое несобственное — композиция поворота вокруг оси и отражения в перпендикулярной плоскости.

---