Воспитанник нижнетагильского хоккея. Начал профессиональную карьеру в 2007 году в клубе Высшей лиги «Газовик», поиграв до этого в молодёжном составе тюменского клуба. 3 января 2010 года Александр дебютировал в КХЛ в составе хабаровского «Амура», а спустя неделю в матче против новокузнецкого «Металлурга» набрал свой первый результативный балл в лиге. В октябре 2010 года получил звание лучшего новичка месяца в КХЛ[1].
15 мая 2011 года, став по итогам сезона 2010/11 лучшим бомбардиром клуба среди защитников, а также установив снайперский рекорд команды для игроков обороны, заключил новое двухлетнее соглашение с хабаровчанами[2]. 23 октября в матче против «Барыса» Осипов получил травму плеча и выбыл из строя на три месяца[3].
17 октября 2017 года Осипов перешел в московский «Спартак»[5]. В сезоне Осипов провел за «Спартак» 39 матчей, набрав 12 (2+10) очков с показателем полезности «-5». По итогам сезона контракт был продлен[6]. 17 июля 2019 года контракт контракт со «Спартаком» был расторгнут по обоюдному согласию[7].