Отношение порядка

---

Отношение порядка — бинарное отношение (далее обозначаемое ${\displaystyle \preccurlyeq }$ или ${\displaystyle \prec }$) между элементами данного множества, по своим свойствам сходное со свойствами отношения неравенства^[⇨].

Множество, все элементы которого сравнимы заданным отношением порядка (то есть для любых ${\displaystyle a\neq b}$ либо ${\displaystyle a\preccurlyeq b}$, либо ${\displaystyle b\preccurlyeq a}$), называется линейно упорядоченным, а отношение порядка называется линейным порядком. Если же сравнимы не все неравные элементы, порядок называется частичным, а множество — частично упорядоченным. Различают также строгий порядок ${\displaystyle \prec }$, при котором ${\displaystyle a\prec a}$ невозможно, и нестрогий ${\displaystyle \preccurlyeq }$ в противном случае^[1].

Отношение нестрогого (рефлексивного) частичного порядка (${\displaystyle \preccurlyeq }$) на множестве ${\displaystyle X}$ — это бинарное отношение, для которого при любых ${\displaystyle a,b,c}$ из ${\displaystyle X}$ выполнены следующие условия^[2]:

Удобно также дополнительно определить для отношения ${\displaystyle \preccurlyeq }$ отношение строгого (антирефлексивного) порядка (${\displaystyle \prec }$) на том же множестве^[1]:

2-е свойство не является независимым, оно следует из антирефлексивности и транзитивности. Поэтому отношение является отношением строгого порядка тогда и только тогда, когда оно антирефлексивно и транзитивно.

Множество ${\displaystyle X}$, на котором введено отношение строгого или нестрогого порядка, называется частично упорядоченным. Если к тому же для любых элементов ${\displaystyle a\neq b}$ дополнительно выполняется одно из условий: ${\displaystyle a\prec b}$ или ${\displaystyle b\prec a,}$ то порядок называется линейным, а множество — линейно упорядоченным^[2].

---