Перестройка Морса

---

Хирургия, или перестройка Морса — преобразование гладких многообразий, которому подвергается многообразие уровня гладкой функции при переходе через невырожденную критическую точку; важнейшая конструкция в дифференциальной топологии.

Важная роль хирургии в топологии многообразий объясняется тем, что они позволяют «деликатно» (не нарушая тех или иных свойств многообразия) уничтожать «лишние» гомотопические группы (обычно используемая с этой целью в теории гомотопий операция «приклеивания клетки» мгновенно выводит из класса многообразий). Практически все теоремы классификации структур на многообразиях основываются на изучении вопроса, когда для отображения ${\displaystyle f:M\to X}$ замкнутого многообразия ${\displaystyle M}$ в клеточное пространство ${\displaystyle X}$ существуют такой бордизм ${\displaystyle (W;M,N)}$ и такое отображение ${\displaystyle F:W\to X}$, что ${\displaystyle F|_{M}=f}$, а ${\displaystyle F|_{N}:\to X}$ является гомотопической эквивалентностью. Естественный путь решения этой задачи состоит в том, чтобы последовательностью хирургий уничтожить ядра гомоморфизмов ${\displaystyle f^{*}:\pi _{k}(M)\to \pi _{k}(X)}$ (где ${\displaystyle \pi _{k}}$ — гомотопические группы). Если это удаётся, то результирующее отображение будет гомотопической эквивалентностью. Изучение соответствующих препятствий (лежащих в т. н. группах Уолла) явилось одним из главнейших стимулов в развитии алгебраической L-теории^[англ.].

---