Перечислимое множество

---

Перечисли́мое мно́жество (эффекти́вно перечислимое, рекурси́вно перечислимое, полуразреши́мое множество^[1]) — множество конструктивных объектов (например, натуральных чисел), все элементы которого могут быть получены с помощью некоторого алгоритма. Дополнение перечислимого множества называется корекурсивно перечислимым^[2]. Всякое перечислимое множество является арифметическим. Корекурсивно перечислимое множество может не быть перечислимым, но всегда является арифметическим. Перечислимые множества соответствуют уровню ${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$ арифметической иерархии^[en], а корекурсивно перечислимые — уровню ${\displaystyle \Pi _{1}^{0}.}$

Всякое разрешимое множество является перечислимым.^{[источник не указан 1276 дней]} Перечислимое множество является разрешимым тогда и только тогда, когда его дополнение также перечислимо. Другими словами, множество является разрешимым в том и только том случае, когда оно и перечислимо, и корекурсивно перечислимо. Подмножество перечислимого множества может не быть перечислимым (и даже может не быть арифметическим).

Совокупность всех перечислимых подмножеств ${\displaystyle \mathbb {N} }$ является счётным множеством, а совокупность всех неперечислимых подмножеств ${\displaystyle \mathbb {N} }$ — несчётным.

Различным формализациям представления об алгоритме отвечают различные формальные определения понятия перечислимого множества, оказывающиеся эквивалентными. Так, на основе понятия рекурсивной функции перечислимые множества натуральных чисел могут быть определены как образы частично рекурсивных функций одной переменной (поэтому перечислимые множества натуральных чисел иногда называют «рекурсивно перечислимыми множествами»). Аналогично, перечислимые множества слов в некотором алфавите A могут быть введены как множества результатов работы машин Тьюринга с внешним алфавитом A, или как множества являющихся словами в алфавите A результатов работы нормальных алгоритмов над алфавитом A.

---