Пи-теорема

---

Пи-теорема (${\displaystyle \Pi }$-теорема, ${\displaystyle \pi }$-теорема) — основополагающая теорема анализа размерностей. Теорема утверждает, что если имеется зависимость между ${\displaystyle n}$ физическими величинами, не меняющая своего вида при изменении масштабов единиц в некотором классе систем единиц, то она эквивалентна зависимости между, вообще говоря, меньшим числом ${\displaystyle p=n-k}$ безразмерных величин, где ${\displaystyle k}$ — наибольшее число величин с независимыми размерностями среди исходных ${\displaystyle n}$ величин. Пи-теорема позволяет установить общую структуру зависимости, вытекающую только лишь из требования инвариантности физической зависимости при изменении масштабов единиц, даже если конкретный вид зависимости между исходными величинами неизвестен.

В русскоязычной литературе по теории размерностей и моделированию обычно используется название пи-теорема (${\displaystyle \Pi }$-теорема, ${\displaystyle \pi }$-теорема)^[1][2][3][4], происходящее от традиционного обозначения безразмерных комбинаций с помощью (прописной или строчной) греческой буквы «пи». В англоязычной литературе теорему обычно связывают с именем Эдгара Букингема, а во франкоязычной — с именем Эме Ваши́^[фр.].

По-видимому, впервые пи-теорема была доказана Ж. Бертраном^[5] в 1878 году. Бертран рассматривает частные примеры задач из электродинамики и теории теплопроводности, однако его изложение содержит в отчётливом виде все основные идеи современного доказательства пи-теоремы, а также ясное указание на применение пи-теоремы для моделирования физических явлений. Широкую известность методика применения пи-теоремы (англ. the method of dimensions) получила благодаря работам Рэлея (первое применение пи-теоремы в общем виде^[6] к зависимости падения давления в трубопроводе от определяющих параметров относится, вероятно, к 1892 году^[7], эвристическое доказательство с использованием разложения в степенной ряд — к 1894 году^[8]).

---