Плотность последовательности

---

Плотность последовательности ― понятие общей аддитивной теории чисел, изучающей законы сложения целочисленных последовательностей общего вида. Плотность последовательности является мерой того, какая часть из последовательности всех натуральных чисел принадлежит данной последовательности ${\displaystyle A=\{a_{i}\}}$ целых неотрицательных чисел ${\displaystyle 0=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\dots }$. Под понятием плотности последовательности имеется в виду плотность ${\displaystyle d(A)}$, введённая в 1930 Шнирельманом (отсюда англ. название термина — Schnirelmann density) последовательности А, а именно:

где ${\displaystyle \pi _{A}(n)}$ — количество членов последовательности ${\displaystyle A}$, не превосходящих ${\displaystyle n}$.

Пусть ${\displaystyle A+B}$ ― арифметическая сумма последовательностей ${\displaystyle A=\{a_{i}\}}$ и ${\displaystyle B=\{b_{i}\}}$, т. е. множество ${\displaystyle A+B=\{c\in \mathbb {Z} _{+}|c=a+b,a\in A,b\in B\}}$.

Если ${\displaystyle A=B}$ полагают ${\displaystyle 2A=A+A}$, аналогично ${\displaystyle 3A=2A+A}$ и т. д.

Если ${\displaystyle nA=\mathbb {Z} _{+}}$, то ${\displaystyle A}$ называется базисом ${\displaystyle n}$-го порядка.

---