Площадь поверхности


Во всех определениях площади в первую очередь описывается класс поверхностей, для которых она определяется. Проще всего определяется площадь многогранных поверхностей: как сумма площадей их плоских граней. Тем не менее класс многогранных поверхностей недостаточно широк для большинства приложений

Чаще всего площадь поверхности определяют для класса кусочно гладких поверхностей с кусочно гладким краем. Это можно сделать с помощью следующей конструкции: Поверхность разбивают на части с кусочно гладкими границами: для каждой части выбирают плоскость и ортогонально проецируют на неё рассматриваемую часть; площадь полученных плоских проекций суммируют. Площадь самой поверхности определяют как точную верхнюю грань таких сумм.

Если поверхность в евклидовом пространстве задана параметрически кусочно -гладкой функцией , где параметры , изменяются в области на плоскости , то площадь можно выразить двойным интегралом

где обозначает векторное произведение, a и — частные производные по и .