Позиционная система счисления


Позиционная систе́ма счисле́ния (позиционная, поме́стная нумерация) — система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда) относительно десятичного разделителя. Позиционные системы по сравнению с другими позволяют существенно упростить алгоритмы выполнения арифметических операций и ускорить вычисления. Их создание и распространение сыграли большую роль в развитии точных наук — математики, астрономии и физики.

Исторически первое изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам. Независимо от евразийских цивилизаций двадцатеричную позиционную систему счисления изобрели индейцы майя. В более поздний период такая нумерация была развита индусами и имела неоценимые последствия в истории цивилизации. К числу таких систем относится десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у арабов.

Позиционная система счисления определяется целым числом , называемым основанием системы счисления. Система счисления с основанием также называется -ичной (в частности, двоичной, троичной, десятичной и т.п.).

Целое число без знака в -ичной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа [1]:

Каждый базисный элемент в таком представлении называется разрядом (позицией), старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется номером разряда (позиции) (значением показателя степени).

С помощью позиций в -ичной системе счисления можно записать целые числа в диапазоне от до , т.е. всего различных чисел.