Поле (алгебра)

---

По́ле в общей алгебре — множество, для элементов которого определены операции сложения, взятия противоположного значения, умножения и деления (кроме деления на ноль), причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле рациональных чисел (дробей). Элементы поля не обязательно являются числами, поэтому, несмотря на то, что названия операций поля взяты из арифметики, определения операций могут быть далеки от арифметических.

Поле — основной предмет изучения теории полей. Рациональные, вещественные, комплексные числа, рациональные функции^[1] и вычеты по модулю заданного простого числа образуют поля^[⇨].

В рамках понятия о поле неявно работал ещё Галуа в 1830 году, с использованием идеи алгебраического расширения поля ему удалось найти необходимое и достаточное условие того, чтобы уравнение от одной переменной можно было решить в радикалах. Позднее при помощи теории Галуа была доказана невозможность решения таких классических задач, как квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба.

Явное определение понятия поля относят к Дедекинду (1871 год), который использовал немецкий термин Körper (тело). Термин «поле» (англ. field) ввёл в 1893 году американский математик Элиаким Гастингс Мур^[2].

Будучи наиболее близким из всех общеалгебраических абстракций к обычным числам, поле используется в линейной алгебре как структура, универсализирующая понятие скаляра, и основная структура линейной алгебры — линейное пространство — определяется как конструкция над произвольным полем. Также теория полей в значительной степени составляет инструментальную основу таких разделов, как алгебраическая геометрия и алгебраическая теория чисел.

Формально, поле — алгебра над множеством ${\displaystyle F}$, образующая коммутативную группу по сложению ${\displaystyle +}$ над ${\displaystyle F}$ с нейтральным элементом ${\displaystyle {\boldsymbol {0}}}$ и коммутативную группу по умножению ${\displaystyle *}$ над ненулевыми элементами ${\displaystyle F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}}$, при выполняющемся свойстве дистрибутивности умножения относительно сложения. Подразумевается также применимость операции ${\displaystyle *}$ к нулевому элементу по сложению с сохранением свойства дистрибутивности на всём множестве ${\displaystyle F}$.

---