Полярный треугольник — понятие сферической геометрии. Полярным для данного сферического треугольника называется такой сферический треугольник, по отношению к сторонам которого вершины данного треугольника являются полюсами.
Полюсом называется одна из двух точек пересечения перпендикуляра из центра сферы к плоскости большого круга[1]:7. То есть в данном случае каждая вершина данного сферического треугольника лежит на перпендикуляре из центра сферы к большому кругу, содержащему соответствующую сторону полярного сферического треугольника.
Полярные треугольники обладают свойством взаимности:[2] если сферический треугольник ABC полярен относительно сферического треугольника LMN, то и сферический треугольник LMN полярен относительно сферического треугольника ABC. Углы одного из полярных друг относительно друга треугольников дополняют стороны другого треугольнка до развёрнутого угла. Таким образом, каждая теорема или формула, относящаяся к сторонам и углам треугольника, может быть преобразована в двойственную теорему или формулу об углах и сторонах полярного треугольника.
Если все стороны сферического треугольника меньше прямого угла, он будет лежать внутри полярного треугольника. Если все стороны сферического треугольника больше прямого угла, он будет сам содержать полярный треугольник. Если хотя бы одна сторона сферического треугольника меньше или равна прямому углу, тогда как остальные — больше, то он будет пересекаться с полярным треугольником[3]. Сферический треугольник, все стороны которого равны прямому углу, будет полярен самому себе.
Самый ранний пример применения полярного треугольника содержится в «Трактате о познании небесных дуг» Абу Насра ибн Ирака. Ибн Ирак вводит полярный треугольник при вычислении сторон данного сферического треугольника по трём его углам. Аналогичным методом пользовались впоследствии ал-Джайяни в «Книге о неизвестных дугах сферы» и Насир ад-Дин ат-Туси в «Трактате о полном четырёхстороннике».
Понятие «полярный треугольник» в Европе распространилось в 18 веке благодаря В.Снеллиусу[3], который вывел его основные свойства[4].