Порядковое число

---

В теории множеств порядковым числом, или ординалом (лат. ordinalis — порядковый) называется порядковый тип вполне упорядоченного множества. Как правило, порядковые числа отождествляются с наследственно транзитивными множествами. Ординалы представляют собой одно из расширений натуральных чисел, отличающееся как от целых, так и от кардинальных чисел. Как и другие разновидности чисел, их можно складывать, перемножать и возводить в степень. Бесконечные порядковые числа называют трансфинитными (лат. trans — за, через + finitio — край, предел). Ординалы играют ключевую роль в доказательстве многих теорем теории множеств — в частности, благодаря связанному с ними принципу трансфинитной индукции.

Порядковые числа были введены Георгом Кантором в 1883 году как способ описания бесконечных последовательностей, а также классификации множеств, обладающих определённой упорядоченной структурой.^[1] Он случайно открыл порядковые числа, работая над задачей, связанной с тригонометрическими рядами.

Множества ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle S'}$ обладают одинаковой мощностью, если между ними можно установить биективное соответствие (то есть указать такую функцию ${\displaystyle f}$, которая одновременно является инъективной и сюръективной: каждому ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle S}$ соответствует единственное ${\displaystyle y=f(x)}$ из ${\displaystyle S'}$, а каждое ${\displaystyle y}$ из ${\displaystyle S'}$ является образом единственного ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle S}$).

Предположим, что на множествах ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle S'}$ заданы частичные порядки ${\displaystyle <}$ и ${\displaystyle <'}$ соответственно. Тогда частично упорядоченные множества ${\displaystyle (S,<)}$ и ${\displaystyle (S',<')}$ называются изоморфными с сохранением порядка, если существует биективное отображение ${\displaystyle f}$, при котором заданный порядок сохраняется. Иначе говоря, ${\displaystyle f(a)<'f(b)}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a<b}$. Любое вполне упорядоченное множество ${\displaystyle (S,<)}$ изоморфно с сохранением порядка по отношению к естественно упорядоченному множеству порядковых чисел, меньших некоторого определённого ординала (равного порядковому типу ${\displaystyle (S,<)}$).

---