Последовательность

---

Последовательность в математике — пронумерованный набор каких-либо объектов, среди которых допускаются повторения, причём порядок объектов имеет значение. Нумерация чаще всего происходит натуральными числами. Обычно (особенно в математическом анализе) под последовательностью понимается бесконечная последовательность, при этом конечные последовательности в некоторых случаях также рассматриваются.

Наиболее часто изучаемый объект в классическом математическом анализе — числовая последовательность, в геометрии, в современных направлениях алгебры и анализа и приложениях изучаются также и нечисловые последовательности (например, последовательности элементов различных метрического пространства, временны́е ряды нечисловой природы, последовательности состояний систем управления и автоматов.

Формально последовательность определяется как отображение ${\displaystyle s\colon \mathbb {N} \to X}$ множества натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ в заданное множество ${\displaystyle X}$ (элементов множества ${\displaystyle X}$) произвольной природы. Образ натурального числа ${\displaystyle n}$, а именно элемент ${\displaystyle x_{n}=s(n)}$, называется ${\displaystyle n}$-м членом последовательности, а порядковый номер ${\displaystyle n}$ члена последовательности ${\displaystyle x_{n}}$ — его индексом.Подмножество ${\displaystyle s\left[\mathbb {N} \right]}$ множества ${\displaystyle X}$, которое образовано элементами последовательности, называется носителем последовательности. Существует ряд обобщений, позволяющих нумеровать последовательности не только натуральными числами^[⇨].

---