Последовательность Рудина — Шапиро

---

Последовательность Рудина — Шапиро, также известная как последовательность Голея — Рудина — Шапиро — это бесконечная последовательность, названная в честь Марсела Голея, Уолта Рудина и Гарольда Шапиро, которые независимо исследовали её свойства.^[1]

Каждый член последовательности Рудина-Шапиро — либо +1, либо −1. Член последовательности с номером n, ${\displaystyle b_{n}}$, определяется по следующим правилам:

где ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ — цифры двоичной записи n. Иначе говоря, ${\displaystyle a_{n}}$ — число (возможно, пересекающихся) подстрок 11 в двоичном представлении n, а ${\displaystyle b_{n}}$ есть +1, если ${\displaystyle a_{n}}$ четно, и −1 иначе.^[2]

Например, ${\displaystyle a_{6}=1,b_{6}=-1}$, поскольку в двоичной записи числа 6 (110) 11 встречается один раз; ${\displaystyle a_{7}=2,b_{7}=+1}$, так как в двоичной записи числа 7 (111) 11 встречается два раза (с пересечениями): 111 и 111.

Начиная с ${\displaystyle n=0}$, числа ${\displaystyle a_{n}}$ образуют последовательность:

Соответствующие члены ${\displaystyle b_{n}}$ последовательности Рудина — Шапиро:

---