Постоянные Фейгенбаума

---

Постоянные Фейгенбаума — универсальные постоянные, характеризующие бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода при переходе к Динамический хаос (сценарий Фейгенбаума). Открыты Митчеллом Фейгенбаумом в 1975 году.

Одна из простейших динамических систем, где происходит каскад бифуркаций — это рекуррентные последовательности ${\displaystyle x_{n+1}=f_{a}(x_{n})}$, где ${\displaystyle a}$ — некоторый параметр. Один из простейшиx примеров функции ${\displaystyle f_{a}(x)}$ — логистическое отображение

${\displaystyle x_{n+1}=f_{a}(x_{n})=ax_{n}(1-x_{n})}$

В зависимости от параметра ${\displaystyle a}$, в системе может присутствовать неподвижная точка или предельный цикл. При изменении ${\displaystyle a}$ может произойти бифуркация, при которой предельный цикл удваивает свой период. Обозначим за${\displaystyle a_{n}}$ значения ${\displaystyle a}$, при которых происходит удвоение периода. Оказывается, что при больших ${\displaystyle n}$ значения ${\displaystyle a_{n}}$ сходятся к фиксированному значению${\displaystyle a_{\infty }}$. Сходимость происходит по геометрической прогрессии, причём показатель этой геометрической прогрессии оказывается одинаковым для широкого класса функций ${\displaystyle f_{a}(x)}$ (универсальность Фейгенбаума). Этот показатель называется первой константой Фейгенбаума^[1]

---