Предгильбертово пространство

---

Предги́льбертово простра́нство (у некоторых авторов также евклидово пространство) — вещественное или комплексное линейное пространство с определённым на нём скалярным произведением. Оно не обязательно полно, в отличие от гильбертова пространства. Широко используется в функциональном анализе и смежных дисциплинах.

Пара ${\displaystyle \left(X,\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}$ называется предгильбертовым пространством, если ${\displaystyle X}$ — линейное пространство, а ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ — определённое на ${\displaystyle X}$ скалярное произведение. (Обычно подразумевается скалярное произведение в обычном смысле, то есть положительно определённое.)

Предгильбертово пространство можно считать нормированным, так как скалярное произведение порождает естественную норму:

В случаях, когда скалярное произведение не является строго положительно определённым, а именно выбрано так, что может быть нулем при ненулевых ${\displaystyle x}$ (чего бывает трудно избежать в некоторых бесконечномерных случаях), то указанное выше выражение даёт не норму, а только полунорму.

Теорема фон Неймана — Йордмана: если в полунормированном пространстве ${\displaystyle (H,\;\|\cdot \|)}$ справедлив закон параллелограмма, то ${\displaystyle (H,\;\|\cdot \|)}$ — предгильбертово, то есть существует (и притом единственное) скалярное произведение ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ такое, что ${\displaystyle \|x\|=(x,x)^{1/2}}$.

В теории рядов Фурье широкое распространение находит предгильбертово пространство вещественных функций с интегрируемым квадратом

---