Преобразования Лоренца

---

Преобразова́ния Ло́ренца — линейные (или аффинные) преобразования векторного (соответственно, аффинного) псевдоевклидова пространства, сохраняющие длины или, что эквивалентно, скалярное произведение векторов.

Преобразования Лоренца псевдоевклидова пространства сигнатуры ${\displaystyle (n-1,\;1)}$ находят широкое применение в физике, в частности, в специальной теории относительности (СТО), где в качестве аффинного псевдоевклидова пространства выступает четырёхмерный пространственно-временной континуум (пространство Минковского).

Преобразование Лоренца представляет собой естественное обобщение понятия ортогонального преобразования (то есть преобразования, сохраняющего скалярное произведение векторов) с евклидовых на псевдоевклидовы пространства. Различие между ними состоит в том, что скалярное произведение предполагается не положительно определённым, а знакопеременным и невырожденным (так называемое индефинитное скалярное произведение).

Преобразование Лоренца (лоренцево преобразование) псевдоевклидова векторного пространства ${\displaystyle L}$ — это линейное преобразование ${\displaystyle A\colon L\to L}$, сохраняющее индефинитное скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов ${\displaystyle x,\;y\in L}$ выполняется равенство

где треугольными скобками обозначено индефинитное скалярное произведение ${\displaystyle \langle x,\;y\rangle }$ в псевдоевклидовом пространстве ${\displaystyle L}$.

Аналогично, преобразование Лоренца (лоренцево преобразование) псевдоевклидова аффинного пространства — это аффинное преобразование, сохраняющее расстояние между точками этого пространства (это расстояние определяется как длина вектора, соединяющего данные точки, с помощью индефинитного скалярного произведения).

---