Принцип наименьшего действия


При́нцип наиме́ньшего де́йствия Га́мильтона, также просто принцип Гамильтона (точнее — при́нцип стациона́рности де́йствия) — способ получения уравнений движения физической системы при помощи поиска стационарного (часто — экстремального, обычно, в связи со сложившейся традицией определения знака действия, — наименьшего) значения специального функционаладействия. Назван в честь Уильяма Гамильтона, использовавшего этот принцип для построения так называемого гамильтонова формализма в классической механике.

Принцип стационарности действия — наиболее важный среди семейства экстремальных принципов. Не все физические системы имеют уравнения движения, которые можно получить из этого принципа, однако все фундаментальные взаимодействия ему подчиняются, в связи с чем этот принцип является одним из ключевых положений современной физики. Получаемые с его помощью уравнения движения имеют название уравнений Эйлера — Лагранжа.

Первую формулировку принципа дал П. Мопертюи (фр. P. Maupertuis) в 1744 году, сразу же указав на его универсальную природу и считая его приложимым к оптике и механике. Из данного принципа он вывел законы отражения и преломления света.

Ещё античные натурфилософы (например, Аристотель) предполагали, что «природа ничего не делает напрасно и во всех своих проявлениях избирает кратчайший или легчайший путь»[1]. Однако конкретный смысл терминов «кратчайший» или «легчайший» при этом не уточнялся[2]. Клавдий Птолемей показал, что при отражении луча света его общий путь является кратчайшим в том случае, когда угол отражения равен углу падения, что и наблюдается на практике. Однако он предостерёг, что в случае преломления света путь (ломаная линия) уже не будет кратчайшим.

Первым в истории науки вариационный принцип сформулировал Пьер Ферма в 1662 году, и он относился именно к преломлению света. Ферма показал, что критерием в данном случае является не путь, а время — луч преломляется под таким углом, чтобы суммарное время в пути было минимально[3]. В современных обозначениях принцип Ферма можно записать так:

где показатель преломления среды.