Производная Гато

---

Произво́дная Гато́ — расширение концепции производной на локально выпуклые топологические векторные пространства. Название дано в честь французского математика Ренэ́ Гато́^[англ.].

Пусть ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ — нормированные пространства над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$, а ${\displaystyle F}$ — отображение, действующее из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$. Если для некоторого ${\displaystyle x\in X}$ и некоторого ${\displaystyle h\in X}$ существует предел (сходимость понимается по норме пространства ${\displaystyle Y}$)

то его называют дифференциалом Гато (или слабым дифференциалом) отображения ${\displaystyle F}$ в точке ${\displaystyle x}$ (на приращении ${\displaystyle h}$). Отображение ${\displaystyle dF(x,h)}$ также называют первой вариацией отображения ${\displaystyle F}$ в точке ${\displaystyle x}$ (на приращении ${\displaystyle h}$).

Дифференциал Гато обладает свойством однородности: если определён ${\displaystyle dF(x,h)}$, то для любого ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$ будет определён ${\displaystyle dF(x,k\cdot h)=k\cdot dF(x,h)}$.

Слабый дифференциал не обязан быть линейным по ${\displaystyle h}$. Если линейность имеет место, то есть

где ${\displaystyle F'(x)}$ — ограниченный линейный оператор, то ${\displaystyle F'(x)}$ называется слабой производной (или производной Гато) отображения ${\displaystyle F}$ в точке ${\displaystyle x}$.

---