Производная (математика)

---

Производная — фундаментальное математическое понятие, используемое в различных вариациях (обобщениях) во многих разделах математики. Это базовая конструкция дифференциального исчисления, допускающая много вариантов обобщений, применяемых в математическом анализе, дифференциальной топологии и геометрии, алгебре.

Общее между различными вариациями и обобщениями заключается в том, что производная отображения характеризует степень изменения образа отображения при (бесконечно) малом изменении аргумента. В зависимости от рассматриваемых математических структур конкретизируется содержание данного понятия.

Только для случая топологических линейных пространств известно около 20 обобщений понятия производной.^[1]

Производная функции ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:

Графически это тангенс угла наклона касательной в точке ${\displaystyle x_{0}}$ к кривой, изображающей функцию ${\displaystyle f(x)}$.

При достаточно малых изменениях ${\displaystyle dx}$ аргумента выполнено равенство ${\displaystyle df=f'(x_{0})dx}$. В общем случае именно такая форма определения принимается за основу для обобщения понятия производной.

---