Промежуток (математика)

---

Промежуток^[1], или, если более точно, промежуток числовой прямой, — это множество вещественных чисел — таких, что если некоторые два числа принадлежат этому множеству, то любое число, лежащее между ними, тоже принадлежит этому множеству^[2]. С использованием логических символов это определение можно записать так:

где ${\displaystyle \forall }$ — квантор всеобщности. В качестве примеров промежутков можно привести следующие множества:

Конечный промежуток состоит из множества чисел, заключённых между двумя числами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — концами промежутка, которые сами могут быть включены в его состав, или нет^[1]. Если a ≤ b, то длиной такого промежутка называется число ${\displaystyle |a-b|=|b-a|=b-a}$.

Если ${\displaystyle a\leqslant b,a\in \mathbb {R} ,b\in \mathbb {R} }$, то промежуток ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\}}$ называется сегментом^[3] или числовым отрезком и обозначается ${\displaystyle [a,b]}$:

В случае ${\displaystyle a=b}$ отрезок вырождается в множество из одной точки (в синглетон).

Если ${\displaystyle a<b,a\in \mathbb {R} ,b\in \mathbb {R} }$, то промежуток ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}}$ называется интервалом и обозначается ${\displaystyle (a,b)}$:

---