Пропорция (математика)

---

Пропо́рция (лат. proportio «соразмерность, выравненность частей; определённое соотношение частей между собой») — равенство отношений двух [и более] пар чисел ${\displaystyle a,b}$ и ${\displaystyle c,d}$, т. е. равенство вида ${\displaystyle a:b=c:d}$, или, в других обозначениях, равенство ${\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$(часто читается как: «${\displaystyle a}$ относится к ${\displaystyle b}$ так же, как ${\displaystyle c}$ относится к ${\displaystyle d}$»). В этом случае ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle d}$ называют крайними, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ — средними членами пропорции. Такую пропорцию ещё называют геометрической, чтобы не путать с арифметической и гармонической пропорциями.

Докажем для сложения. Выразим ${\displaystyle c}$ через остальные члены пропорции: ${\displaystyle c={\frac {ad}{b}}}$. Тогда:

Первое известное определение равных пропорций было дано как равенство последовательных вычитаний^[1], современным языком это можно выразить как равенство цепных дробей для отношений величин.^[2]Позже Евдокс Книдский упростил определение, равенство пропорций ${\displaystyle a:b=c:d}$ им определялось как одновременное выполнение одной из трёх пар соотношений

для любой пары натуральных чисел ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$. Это определение даётся в «Началах» Евклида.

С появлением вещественных чисел отпала необходимость в специальной теории пропорций, древние математики не рассматривали пропорции длины как числа. Определение Евдокса, данное в несколько более абстрактном виде, использовалось далее при определении вещественных чисел Дедекиндом через сечения.

---