Числа-близнецы

---

Все пары чисел-близнецов, кроме (3, 5), имеют вид ${\displaystyle 6n\pm 1,}$ так как числа с другими вычетами по модулю 6 делятся на 2 или на 3. Если учитывать также делимость на 5, то окажется, что все пары близнецов, кроме первых двух, имеют вид ${\displaystyle 30n\pm 1}$, ${\displaystyle 30n+12\pm 1}$ либо ${\displaystyle 30n+18\pm 1}$. Для любого целого ${\displaystyle m\geqslant 2}$ пара ${\displaystyle (m,m+2)}$ является парой чисел-близнецов тогда и только тогда, если ${\displaystyle 4[(m-1)!+1]+m}$ делится на ${\displaystyle m(m+2)}$ (следствие теоремы Вильсона).

Наибольшими известными простыми-близнецами являются числа ${\displaystyle 2996863034895\cdot 2^{1290000}\pm 1}$^[2]. Они были найдены в сентябре 2016 года в рамках проекта добровольных вычислений PrimeGrid^[3][4].

Предполагается, что таких пар бесконечно много, но это не доказано. По первой гипотезе Харди — Литтлвуда^[англ.], количество ${\displaystyle \pi _{2}(x)}$ пар простых-близнецов, не превосходящих ${\displaystyle x}$, асимптотически приближается к

где ${\displaystyle C_{2}}$ — константа простых-близнецов:

---