Рекурсивная функция (теория вычислимости)

---

Последние совпадают с классом вычислимых по Тьюрингу функций. Определения этих трёх классов сильно связаны. Они были введены Куртом Гёделем с целью формализации понятия вычислимости.

Множество частично рекурсивных функций включает в себя множество общерекурсивных функций, а общерекурсивные функции включают в себя примитивно рекурсивные функции. Частично рекурсивные функции иногда называют просто рекурсивными функциями.

Определение понятия примитивно рекурсивной функции является индуктивным. Оно состоит из указания класса базовых примитивно рекурсивных функций и двух операторов (суперпозиции и примитивной рекурсии), позволяющих строить новые примитивно рекурсивные функции на основе уже имеющихся.

В данном определении переменную ${\displaystyle y}$ можно понимать как счётчик итераций, ${\displaystyle f}$ — как исходную функцию в начале итерационного процесса, выдающего некую последовательность функций ${\displaystyle n}$ переменных, начинающуюся с ${\displaystyle f}$, и ${\displaystyle g}$ — как оператор, принимающий на вход ${\displaystyle n}$ переменных ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, номер шага итерации ${\displaystyle y}$, функцию ${\displaystyle h(x_{1},\ldots ,x_{n},y)}$ на данном шаге итерации, и возвращающий функцию на следующем шаге итерации.

Множество примитивно рекурсивных функций — это минимальное множество, содержащее все базовые функции и замкнутое относительно указанных операторов подстановки и примитивной рекурсии.

В терминах императивного программирования — примитивно рекурсивные функции соответствуют программным блокам, в которых используется только арифметические операции, а также условный оператор и оператор арифметического цикла (оператор цикла, в котором число итераций известно на момент начала цикла). Если же программист начинает использовать оператор цикла while, в котором число итераций заранее неизвестно и, в принципе, может быть бесконечным, то он переходит в класс частично рекурсивных функций.

---