Решётка (геометрия)

---

Решётка — набор векторов евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, образующий дискретную группу по сложению.

Линейно независимая система векторов, порождающая решётку, называется её базисом. Два набора векторов порождают одну и ту же ${\displaystyle n}$-мерную решётку тогда и только тогда, когда матрицы ${\displaystyle B_{1}}$ и ${\displaystyle B_{2}}$, составленные из вектор-столбцов координат векторов этих наборов, связаны домножением справа на унимодулярную матрицу: ${\displaystyle B_{1}=B_{2}U}$, ${\displaystyle U\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$. Поэтому можно сопоставить решётки максимального ранга в ${\displaystyle n}$-мерном пространстве классам смежности ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$^[1].

Определителем решётки называется определитель матрицы, составленной из координат порождающих её векторов. Он равен объёму её фундаментальной области, представляющей собой параллелепипед, и также называется кообъёмом решётки.

Нормой вектора ${\displaystyle v}$ в теории решёток в евклидовом пространстве принято называть не длину вектора, а её квадрат ${\displaystyle \|v\|^{2}}$.

Решётка ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {R} ^{n}}$ называется:

Примитивным называется ненулевой вектор решётки, не коллинеарный никакому более короткому ненулевому вектору этой решётки.

---