Родился 21 июля 1907 г. в селе Курное Житомирской области в семье волостного писаря. В 1922-1925 годах прошёл трёхлетние педагогические курсы, после чего работал учителем и заведовал избой-читальней. В 1929 году поступил на славянское отделение филологического факультета Ленинградского университета. В университете увлёкся идеями Н. Я. Марра, и даже перевёл его основные труды на украинский язык, но не смог опубликовать свой перевод. Из-за недостаточного количества студентов на курсе был выпущен досрочно в 1932 г. После выпуска преподавал русский язык и литературу в техникумах в Курске, а потом в Орле. В 1936 году был ассистентом принят на кафедру русского языка Мордовского педагогического института. В 1940 году Савченко устроился в Кабардино-Балкарский педагогический институт[1].
В 1941 году Савченко закончил диссертацию на тему «К вопросу о древнерусском койнэ и его отличиях от народных говоров», которую не удалось защитить из-за начавшейся войны (и сам текст был утрачен). Научным руководителем был Г. О. Винокур. Впоследствии Савченко восстановил текст по черновикам и в 1944 году защитил в Тбилисском университете[2].
В 1947 году Савченко получил должность заведующего кафедрой украинского языка Черновицкого университета. В 1954 году был принят на должность заведующего кафедрой русского и общего языкознания Ростовского университета, где работал до самой смерти[3].
В 1961 году в Ленинградском университете Савченко защитил докторскую диссертацию на тему «Категория среднего залога в индоевропейском языке»[4].
В область научных интересов А. Н. Савченко входили общее и сравнительное языкознание. Он исследовал медиальный залог в праиндоевропейском языке и внёс большой вклад в становление теории об эргативном строе индоевропейского языка.