Орган местного самоуправления — Свесский поселковый совет, в который не входят другие населённые пункты.
Посёлок городского типа Свесса находится на берегу одноименной реки[2]. На расстоянии в 1 км расположены сёла Орловка и Шевченково. К посёлку примыкает большой лесной массив — урочище Кривые Речки (берёза, сосна).
Интересное звукосочетание в названии поселка имеет несколько версий. Одна из них происходит от слова «всь», что означает небольшое поселение, жители которого назывались соответственно «весянами». По другой версии название «Звиса, Свиса» связана с местом расположения поселения. Оно расположено на крутом правом берегу реки, которая того времени вплотную протекала под известковым берегом, поэтому поселение будто «свисало» над рекой и болотистой местностью, что и породило название поселения «Свисса» с последующей редакцией название «Свесса».
Местность, на которой расположена Свесса, была заселена в давние времена — здесь обнаружено поселение времени позднего неолита (III тыс. до н. э.).
Поселение возникло в 1670-е годы[3]. Хутор Свесса впервые упоминается во второй половине XVII в., когда гетман Иван Самойлович подарил её своему зятю Ю. Четвертинскому. С 1765 года Свесса находилась во владении помещиков Неплюевых, которые окончательно закрепостили крестьян.
В 1853 году в дополнение к винокурне здесь были построены сахарный завод и завод для выжигания извести, которые принадлежали Н. Неплюеву. Будучи заинтересованным в увеличении количества рабочих рук на свесских заводах, Неплюев переселил сюда крестьян из других своих имений.